Выбор при альтернативных рисках предполагает принятие одной из них на основании некоторых критериев и отрицание другой. Если таких функций оказывается несколько, то на основании этих критериев необходимо выбрать всего одну. Поскольку выбор из множества можно свести к серии попарных выборов, то будем рассматривать всего две конкурирующих функции потенциальных потерь. Обычно за каждой из функций FA1 и FA2 стоят определенные мероприятия и затраты. Говорят, что функции FA1 и FA2 имеют стоимости V1 и V2 соответственно.
Выбор может осуществляться на основании сравнения:
1. V1 и V2.
2. FA1 и FA2.
3. V1 и V2 и FA1 и FA2.
Самым простым оказывается сравнение и выбор по стоимости, так как процедура сравнения осуществляется в области действительных чисел и выбор может осуществляться по принципу «чем ниже стоимость, тем лучше проект». Предельным является случай нулевой стоимости, например V1 = 0.
Сравнение FA1 и FA2 оказывается более сложной задачей, так как осуществляется в области геометрических объектов, в общем случае в n-мерном пространстве. В таком случае весьма трудно математически формализировать процесс сравнения и выбора.
Обычно при решении таких задач вводятся дополнительные допущения, аппроксимации геометрических объектов аналитическими выражениями и т.п. Наиболее общим путем является уменьшение размерности вектора потенциальных потерь. В предельном случае сравниваемые FA1 и FA2 оказываются функциями одной переменной U (ущербов). Однако и здесь сложности сравнения оказываются намного большими, чем в случае действительных чисел, каковыми являются стоимости V1 и V2.
Дополнительной трудностью является то обстоятельство, что функции распределения вероятностей, как известно из теории вероятностей, отличаются друг от друга по виду незначительно. Поэтому по возможности стараются использовать для сравнения функции плотности распределения вероятностей fA = =dFA/dU, которые различаются между собой весьма заметно.
В теории рисков наиболее часто используются следующие плотности распределения вероятностей:
- равномерное распределение;
- распределение Пуассона;
- биноминальное распределение;
- нормальное распределение;
- логнормальное распределение;
- и целый ряд других в зависимости от области исследования.
Чтобы сказать, что FA1 «лучше», чем FA2, можно использовать не всю информацию о форме геометрического объекта, а информацию о ее основных вероятностных числовых характеристиках, в качестве которых обычно используют:
- математическое ожидание;
- дисперсию или среднеквадратическое отклонение;
- коэффициент вариации;
- асимметрию;
- эксцесс.
В первую очередь сравниваются математические ожидания М1[U] и M2[U], которые являются основными мерами риска и зачастую сами называются рисками. Выбор делается в пользу меньшего математического ожидания.
При одинаковых математических ожиданиях сравниваются дисперсии или соответствующие среднеквадратические отклонения. Выбор делается в пользу меньшей дисперсии или среднеквадратического отклонения, потому что чем больше среднеквадратическое отклонения, тем более вероятны значительные ущербы.
Если математические ожидания примерно равны и дисперсии примерно равны, то выбор можно сделать по коэффициенту вариации, являющемуся отношением среднеквадратического отклонения к математическому ожиданию. Выбор делается в пользу меньшего коэффициента вариации.
Асимметрия показывает степень сдвига моды плотности распределения вероятности к нулю ущерба по сравнению со случаем нормального распределения. При отрицательной асимметрии сдвиг наблюдается к нулю ущерба, при положительной — в сторону роста ущерба. Выбор делается в пользу больших отрицательных значений асимметрии.
Эксцесс показывает степень остроты или плоскости функции плотности распределения вероятностей относительно нормального распределения. Положительные значения эксцесса говорят о более остром распределении, чем нормальный закон, а отрицательные более плоском распределении. Выбор делается в пользу больших положительных эксцессов.
Иной путь сравнения функций распределений вероятностей FAl и FA2 может быть осуществлен с помощью так называемой функции полезности или функции потерь. В выражения для риска (2.2.1) -(2.2.4) вводится сомножителем некоторая функция D(U):
RD = ∑D(U)*Uj*qj, (2.2.11)
RD = ∫D(U)*U*dFA, (2.2.12)
RD = ∫D(U)*fA(U)*dU. (2.2.13)
Смысл введения этой функции состоит в следующем: обычно инвестор испытывает антипатию к значительным потерям, даже если их вероятность невелика. В то же время он испытывает значительную симпатию к большим выигрышам, даже если они маловероятны. Таким образом, функция D(U) обычно имеет малые значения в области малых ущербов и резко возрастает в области значительных ущербов.
В случае спекулятивных рисков, содержащих как возможности выигрыша, так и проигрыша, функция D(U) носит название функции полезности, а в случае чистых рисков — функции потерь. Далее будем рассматривать D(U) в основном как функцию потерь, поскольку экологические и энвиронментальные риски целесообразно рассматривать в качестве чистых рисков. Заметим, что при использовании функций потерь риск RD уже не совпадает с математическим ожиданием ущербов. Обычно функция потерь D(U) выбирается таким образом, что RD в (2.2.10)—(2.2.13) оказывается больше соответствующих рисков R в (2.2.1)-(2.2.4).
В 2.1 говорилось о различном отношении игроков к риску. В математических моделях именно функция полезности или потерь D(U) является характеристикой этого отношения. У разных игроков функция является различной. Для игроков, проявляющих склонность к риску функция полезности, является выпуклой, у игроков с неприятием риска — вогнутой, у лиц с нейтральным отношением к риску — линейной. Обычно игроков делят по их отношению к риску, исходя из следующего мысленного теста.
Пусть имеется проект с постоянным доходом Q и рисковый доход с математическим ожиданием QR. Какой из них предпочесть? Если игрок всегда предпочитает рисковый доход, то его считают склонным к риску. Если игрок всегда выбирает постоянный доход, то его считают несклонным к риску, а его поведение называют консервативным. Если игрок не может отдать предпочтение и выбирает то постоянный, то рисковый доход, то его отношение к риску считают нейтральным.
Внутри каждого класса функции D(U) отличаются параметрами, которые могут характеризовать степень склонности или неприятия риска. Например, степень неприятия риска по Пратту Av принято характеризовать формулой:
Если функция полезности определяется формулой
то Av = a. (2.2.16)
Существует еще один важный аспект, который может непосредственно учитываться в мерах риска — это степень защищенности субъекта риска от потенциального ущерба. Дело в том, что для уменьшения потенциального ущерба могут применяться те или иные меры и средства защиты как технического, так и организационного характера. В этом случае можно меры защиты математически характеризовать функцией защиты Z(U), которая вводится в выражения (2.1.1)-(2.1.4) таким же образом, как и функция полезности или потерь в выражениях (2.2.10)—(2.2.13):
Rz = ∑Z(U)*Uj*qj, (2.2.18)
Rz = ∫Z(U)*U*dFA, (2.2.19)
Rz = ∫Z(U)*U*fA(U)*dU. (2.2.20)
Обычно именно за функцию защиты и приходится платить при уменьшении риска, т.е. различным функциям защиты Z1(U), Z2(U) соответствуют стоимости их достижения V1,V2. Отличием функций защиты от функций потерь является их поведение в области значительных ущербов. Если D(U) при значительных ущербах растет, то Z(U) должна уменьшаться. Возможно совместное использование функций потерь и защиты, т.е. введение меры риска RDZ.
Наибольший интерес представляет выбор на основании сравнения и стоимостей, а также функций распределения вероятностей альтернативных вариантов. Такое сравнение в полном объеме представляет сложную задачу. Однако существуют упрощенные варианты сравнения. Если риски и стоимости выражены в денежных единицах, то напрямую могут сравниваться пары V1, R1 и V2, R2, V1, RD1 и V2, V1 и RD2 или RZ1 и V2, RZ2.