Для теории риска характерна замена неясной формулировки риск, присущей человеческому языку и приведенной в различных толковых словарях, на более строгие математические объекты в математических моделях. Что же такое риск в математических моделях?
При введении этих объектов, имеющих случайную природу, выделяются два различных подхода. В первом из них изучаемой случайной величиной является потенциальный ущерб, который полностью характеризуется своей функцией распределения вероятностей FA или плотностью распределения вероятностей fA, если это возможно.
Для случайного потенциального ущерба существуют различные вероятностные характеристики, так или иначе связанные с ее функцией распределения вероятностей: математическое ожидание потенциального ущерба, его дисперсия и среднеквадратическое отклонение и т.д. Тогда математическое понятие риск связывается с какой-либо из вероятностных характеристик потенциального ущерба или комбинацией таких характеристик. Например, в 2.1, приведен пример, когда в качестве математического понятия риск по определению используется математическое ожидание потенциального проигрыша.
Отметим, что выбранная вероятностная характеристика потенциального ущерба является не только определением риска, но и его мерой, которая позволяет сравнивать по риску между собой различные игры (проекты). Наиболее часто в рамках этого подхода используется определение риска R в одном из следующих видов:
R = ∑Uj*qj, (2.2.2)
R = ∫UdFA, (2.2.3)
R = ∫UfA(U)dU. (2.2.4)
Нетрудно заметить, что выражения (2.2.1)-(2.2.4) являются разными формами записи математического ожидания потенциального ущерба, т.е.
Видно, что в данном случае риск R полностью совпадает по смыслу с таким же понятием в простейшей игре в 2.1.
Для сторонников представления риска в виде (2.2.1) — (2.2.4) самостоятельной ценностью является структура этих выражений, в которых имеется вероятность или, как иногда говорят, частота появления того или иного ущерба. Зачастую эту вероятность пытаются связать с вероятностью или частотой события, вызывающего этот ущерб. Например, ущерб от удара молнии зависит от вероятности этого удара.
Во втором подходе сам потенциальный исход игры объявляется риском, который может быть положительным (выигрыш в определенной сумме) и отрицательным (проигрыш в определенной сумме). Тогда сам риск является случайной величиной и имеет свою функцию распределения вероятностей и вероятностные характеристики, связанные с ней. Мерой риска в таких случаях является выбранная вероятностная характеристика риска, например, математическое ожидание результата игры. Интересно заметить, что такая мера риска совпадает со спекулятивным риском в 2.1.
Несколько слов о предпочтительности первого и второго подходов в определении риска. Заметим, что, несмотря на кажущееся различие, мерой риска в обоих случаях оказываются вероятностные характеристики ущерба или результата деятельности.
Если можно обоснованно разделить причины и вероятности получения прибыли от причин и вероятностей получения ущерба, то целесообразно использовать первый подход. Такая ситуация обычно присутствует в большинстве экономических проектов, лежит в основе регулярной деятельности отраслей экономики. В них источники доходов и причины ущербов имеют разную природу. Например, доходы получаются от продажи нефти, а ущерб обусловлен аварией на нефтепромысле.
Зачастую доходами и расходами, в том числе ущербами, занимаются различные подразделения одной и той же организации, настолько различаются методы управления доходами и расходами.
Существуют ситуации, когда одни и те же причины обусловливают доходы и ущербы. Ярким примером являются инвестиции в ценные бумаги, когда основные доходы и ущербы обусловлены одной и той же причиной — колебаниями цен на рынке. В этих случаях предпочтение отдают второму походу. Вместе с тем, как только появляется возможность разделить причины дохода и ущерба, ею пользуются, выделяя чистые риски.
Например, при осуществлении инвестиции в ценные бумаги существует риск неплатежа по осуществленным сделкам. Природа этого риска отличается от природы риска по основной деятельности, и его выделяют в отдельную категорию. Для этого вида риска может использоваться первый подход. Таким образом, возможно использование обоих подходов описания риска одновременно в пределах одного проекта.
В дальнейшем будем преимущественно использовать первый подход в определении риска, связывая его формулировку с теми или иными вероятностными характеристиками потенциального ущерба. Таким образом, в дальнейшем под риском будут пониматься различные вероятностные характеристики, связанные с функцией распределения потенциальных ущербов FA.
Выбранная вероятностная характеристика будет называться риском R и будет являться мерой риска. Несколько слов о возможных мерах риска. Как было сказано, помимо математического ожидания потенциальных потерь в качестве меры риска могут использоваться: дисперсия или среднеквадратическое отклонение потенциального ущерба, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.
Эти так называемые моментные вероятностные характеристики широко используются не только в теории риска, но и во многих областях применения теории вероятностей, случайных процессов, случайных полей к описанию реальных объектов исследования.
Покажем, что математическое ожидание потенциальных потерь может быть использовано в качестве меры риска в широком классе прикладных задач, называемых простейшими и простыми играми с затратами, Эти игры описывают с достаточной степенью реальности многие экономические проекты, связанные с получением прибыли. В 2.1 был рассмотрен результат простейшей игры при предположении наличия только выигрыша и проигрыша. Сделаем следующий шаг.
Предположим, что ведение простейшей игры само по себе что-то стоит игроку, т.е. у него существуют безвозвратные потери на ведение игры, которые обозначим L. Тогда (2.1.3) примет вид
где C=UB*р- шанс, R = UA*q- риск, L — затраты.
Из (2.2.6) видно, что целесообразность и эффективность игры зависит не только от шансов и рисков, но и от затрат на ее осуществление.
Иногда можно представить экономическую деятельность как сумму независимых простейших игр со своими шансами Сj, рисками Rj и затратами Lj. Тогда, используя свойства математического ожидания суммы независимых величин, математическое ожидание результата деятельности можно представить в виде:
Вводя математическое ожидание суммарного или общего результата деятельности M[S] = ∑M[Sj] = M[∑Sj], суммарный или шанс С = ∑Сj, суммарный или общий риск R = ∑Rj, суммарные или общие затраты L = ∑Lj, получим:
Тогда (2.2.8) можно сформулировать следующим образом:
Математическое ожидание результата экономической деятельности, состоящей из суммы независимых простейших игр, равно суммарному шансу за вычетом суммарного риска и суммарных затрат.
Перейдем к рассмотрению простых игр, в которых выигрыш UB и проигрыш UA являются независимыми случайными величинами с функциями распределения вероятностей FA и FB.Формулы (2.2.6) — (2.2.8) оказываются справедливыми и для случая простых игр. В этом случае выражение для шанса и риска принимают вид:
При рассмотрении суммарного результата независимых простых игр также вводятся в рассмотрение составляющие шансы Сj и риски Rj, зависящие от соответствующих функций распределения вероятностей выигрышей FBj и проигрышей FAj, Для составляющих шансов и рисков также справедливо (2.2.9). Тогда для случая простых игр также справедливо выражение (2.2.8) или, другими словами:
Математическое ожидание результата экономической деятельности, состоящей из суммы независимых простых игр, равно суммарному шансу за вычетом суммарного риска и суммарных затрат.
Выражение (2.2.8) с учетом (2.2.9) открывает широкие возможности для построения схем и методов управления рисками в контексте управления результатом экономической деятельности. Заметим, что риск в простейших и простых задачах о выигрыше и проигрыше характеризуется математическим ожиданием проигрышей. Данное обстоятельство способствует тому, что именно математическое ожидание потенциальных потерь чаще всего выбирается для характеристики риска. Зачастую именно эту вероятностную характеристику называют риском.
Перейдем к задаче, связанной с выбором среди проектов, характеризующихся соответствующими рисками. В этом случае говорят о выборе при альтернативных рисках. Как уже было отмечено, в полной мере потенциальный ущерб характеризуется функцией распределения вероятностей FA. Пусть существуют две функции распределения потенциальных ущербов FA1 и FA2.